Метод декомпозиции Данцига и Вульфа представляет собой специализированный вариант симплекс-метода.
В 1960 г. Данциг и Вульф разработали метод декомпозиции для решения задач высокой размерности со
специальной структурой матрицы ограничений .
Этот метод оказался наиболее эффективным для решения задач, матрица ограничений которых имеет
блочно-диагональный вид с небольшим числом переменных. Однако, как показали дальнейшие исследования, метод применим также и для задач ЛП с матрицей общего вида. Соответствующий метод предложен Д. Б. Юдиным и Э. Г. Гольштейном и называется блочным программированием.
Отличительной особенностью метода декомпозиции является использование
координирующей задачи, которая имеет, по сравнению с исходной, небольшое число строк и большое число столбцов.
Содержание
- 1 Метод генерации столбцов
- 2 Принцип декомпозиции
- 3 Алгоритм
- 4 Блочные задачи
- 5 Примечания
- 6 Литература
Метод генерации столбцов
Существенным является то, что для решения координирующей задачи не требуется задания всех столбцов в явном виде. Они генерируются в процессе использования симплекс-метода. Такой подход называют
методом генерации столбцов.
Достаточно уметь генерировать столбец и иметь процедуру, выбирающую столбец для ввода в базис.
Часто такая процедура сводится к решению определенной подзадачи (не обязательно линейного программирования). Принцип декомпозиции
Лемма Пусть — непустое замкнутое ограниченное множество в евклидовом пространстве и обладает конечным числом крайних точек, которые здесь будут обозначаться . Тогда любая точка множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации крайних точек множества R, т.е. для найдутся неотрицательные числа с общей суммой единица () и такие, что
(1) .
Пусть поставлена задача
Максимизировать
(2)
при ограничениях
(3)
(4)
(5)
Ограничения (3) задают симплекс S, пусть — его крайние точки.
Пусть x допустимое решение По лемме
Подставим последнее выражение в (2) и (3).
Задача примет вид
Максимизировать (6)
при ограничениях
(7)
(8) .
Эта задача эквивалентна исходной (2)-(5) и называется
координирующей задачей.
Она имеет только строк ограничений по сравнению с строками исходной задачи, и очень большое число столбцов , равное числу крайних точек множества . Чтобы не хранить все эти столбцы в памяти ЭВМ, будем получать их по мере необходимости, пользуясь методом генерации столбцов. Алгоритм
Решаем задачу (6)-(8) симплекс-методом с использованием метода генерации столбцов.
Для простоты предположим, что уже известно некоторое допустимое базисное решение.
Обозначим через ограничение (8), тогда двойственные переменные — это вектор .
Для ввода в базис необходимо найти , такой, что
Таким образом достаточно найти m, на котором достигается минимум
(9)
что эквивалентно решению задачи
минимизировать (10)
при ограничениях (4) и (5).
Если найденный минимум не будет больше , задача решена.
В противном случае столбец , соответствующий найденному решению, вводим в базис. Блочные задачи
Пусть ограничения (4) имеют блочную структуру
Задача (10),(4),(5) распадается на отдельные подзадачи
Найти минимум
(11)
при условиях
(12) Литература
- Хемди А. Таха.
Глава 3. Симплекс-метод Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction.— 7-е изд.— М.: Вильямс, 2007.— С.95-141.— ISBN 0-13-032374-8.
- Гольштейн E. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном программировании..— М.: Советское радио, 1966.
- Юдин Д. Б., Гольдштейн Е. Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения).— М.: Наука, 1969.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Разложение_Данцига-Вулфа